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L'ellipse d'équation \(25y^2+9x^2-225=0\) est rapportée à ses axes de symétries.
\(\textbf{Les items 1, 2 et 3 se rapportent à cet énoncé.}\)
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1. La longueur de son latus rectum vaut:
L'ellipse d'équation \(25y^2+9x^2-225=0\) est rapportée à ses axes de symétries.
\(\textbf{Les items 1, 2 et 3 se rapportent à cet énoncé.}\)
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1. La longueur de son latus rectum vaut:
2. Les foyers de cette ellipse ont pour coordonnées:
3. Les sommets de cette ellipse ont pour coordonnées:
4. Le graphique \((C)\) de la conique \(x^2+4xy-5y^2+x-2y+3=0\) admet une tangente \((t)\) au point \(P\) d'abscisse nulle et ordonnée positive d'équation:
5. La fonction \(f\) définie par \(f(x)={2-x \over x^3+3x^2+2x}\) est intégrable sur l'intervalle \(I=[3,4]\). L'intégrale de \(f\) sur \(I\) vaut:
6. La limite de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x\sin{5 \over x}\), lorsque \(x\) tend vers zéro, est:
7. La fonction \(f\) définie par \(f(x)= e^{3x}cos2x\) est développable en série de \(Maclaurin\). Les trois premiers termes non nuls de ce développement sont:
8. La conique \(2x^2+4xy-y^2+2y-2x-1=0\) admet deux axes de symétrie d'équations:
9. La conique \(y^2+2xy+2x^2+4x+3=0\) représente une:
10. La conique \(y^2+2xy-3y+2x-4=0\) admet deux asymptotes d'équations
11. La conique \(y^2-x^2+2y-x-3=0\) admet une normale au point \(T(0,-3)\). L'équation normale est:
12. Le centre de la famille des coniques \(y^2+\lambda xy+x^2+y-3x+1=0\) est situé sur la droite \(y-x+1=0\) avec \(\lambda\) égale à:
13. On donne les points \(A(2,3)\) et \(B(3,1)\). Le point \(P(x,y)\) se déplace de telle sorte que la pente de la droite passant par les points \(P\) et \(A\) soit égale à l'opposé de l'inverse de la pente de celle qui passe par les points \(P\) et \(B\). Le point \(P\) détermine un lieu géométrique dont l'équation est:
14. La droite (\(d\)) d'équation \(y+x-1=0\) admet un pole \(P\) par rapport à la conique \(y^2+x^2+xy+4=0\). \(P\) a pour coordonnées:
15. Le cercle (\(C\)) passe par l'intersection des cercles (\(C_1 \equiv y^2+x^2+2y-x+1=0\) et (\(C_2 \equiv y^2+x^2-3y+2x-2=0\) et son centre est situé sur la droite \(y-2x=0\). L'équation du cercle \(C\) est:
16. L'ensemble des solutions de l'équation \(2^{4x}-3.2^{2x}+2=0\) est:
17. Au point \(P(0,-3)\), la droite \(y-2x+3\) est tangente au cercle \(C\) qui passe par le point \(A(-2,1)\). \(C\) a pour équation:
18. La fonction \(f\) définie par \(f(x)=ln x\) admet \(n\) dérivées successives dont la \(n^e\) est notée \(f^{(n)}(x)={d^n f \over dx^n}\), \(n \in \textit{N}^{\ast}\). Pour \(n=54\), \(f^{(54)}(x)\) vaut:
19. La courbe \(C\) est définie par l'équation paramétriques \(x={3 \over t(t-1)}\) et \(y={3 \over t-1}\), où \(t\) est un paramètre réel. \(C\) a pour équation cartésienne:
20. La droite \(d\) passe par l'intersection des droites \((d_1) \equiv y-2x+1=0\) et \((d_2) \equiv 2y+x-2=0\) de telle sorte que ses coordonnées à l'origine soient sur la droite \(y+x=0\). La droite \(d\) a pour équation:
21. Dans l'ensemble \(E = R \setminus \left \{-2 \right \}\) est définie la loi interne \(T\) par \(x' T y = xy+2(x+y+1)\), où x et y sont des éléments de \(E\), \(e\) est l'élément neutre de \(E\), \(x'\) est le symétrique de \(-{1 \over 2}\) et \(x''\) le symétrique de 2. Le rapport \( {e-x'' \over x'}\) vaut:
22. L'ellipse d'équation \(16y^2+9x^2-144=0\) engendre le volume \(V\) pendant sa rotation autour de l'axe des abscisses. Le volume \(V\) vaut:
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Dans l'ensemble \(C\) des nombres complexes, l'équation \(Z^3+2(1+i)Z^2+(14+35i)Z+123+3i=0\) admet trois racines distinctes dont \(3i\) est l'une d'entre elles, telle que \(Re(Z_1)<Re(Z_2)<Re(Z_3)\) où \(Re(Z)\) désigne la partie réelle de \(Z\). \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) sont les points images respectifs de \(Z_1\), \(Z_2\) et \(Z_3\).
\(\textbf{Les items 23, 24 et 25 se rapportent à ces données}\).
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23. Le segment \(\overline{P_1P_2}\) admet une médiatrice \((m)\) d'équation cartésienne:
Dans l'ensemble \(C\) des nombres complexes, l'équation \(Z^3+2(1+i)Z^2+(14+35i)Z+123+3i=0\) admet trois racines distinctes dont \(3i\) est l'une d'entre elles, telle que \(Re(Z_1)<Re(Z_2)<Re(Z_3)\) où \(Re(Z)\) désigne la partie réelle de \(Z\). \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) sont les points images respectifs de \(Z_1\), \(Z_2\) et \(Z_3\).
\(\textbf{Les items 23, 24 et 25 se rapportent à ces données}\).
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23. Le segment \(\overline{P_1P_2}\) admet une médiatrice \((m)\) d'équation cartésienne:
24. Le point \(P_1\) est à la distance \(d\) du point \(P_2\). La distance \(d\) vaut:
25. Le rapport\({ Z_2 + Z_3\over Z_1}\) vaut: